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什么是完美椭圆,什么是优美椭圆

来源:整理 时间:2025-07-06 22:39:35 编辑:爱爸妈 手机版

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1,什么是优美椭圆

已知椭圆(a>b>0),c是半焦距,若定义椭圆的离心率,当椭圆的离心率等于黄金比时我们称椭圆为“优美椭圆”。优美椭圆有很多特性,如:(1)短轴两端点,长轴的一端点及其对侧的焦点共圆;(2)焦点与相应准线之间距离等于长半轴长。
优美椭圆:离心率e为黄金分割比 (1)短轴两端点,长轴的一端点及其对侧的焦点共圆; (2)焦点与相应准线之间距离等于长半轴长。

什么是优美椭圆

2,什么是椭圆椭圆有什么性质

椭圆 椭圆是一种圆锥曲线(也有人叫圆锥截线的),现在高中教材上有两种定义:1:平面上到两点距离之和为定值的点的集合(该定值大于两点间距离)(这两个定点也称为椭圆的焦点,焦点之间的距离叫做焦距);2:平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合(定点不在定直线上,该常数为小于1的正数)(该定点为椭圆的焦点,该直线称为椭圆的准线)。这两个定义是等价的由于平面截圆锥(或圆柱)得到的图形有可能是椭圆,所以它属于一种圆锥截线。如图,有一个圆柱,被截得到一个截面,下面证明它是一个椭圆(用上面的第一定义):如图,将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端相中间挤压,它们碰到截面的时候停止,那么会得到两个公共点,显然他们是截面与球的切点。设两点为F1、F2对于截面上任意一点P,过P做圆柱的母线Q1、Q2,与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2,所以PF1+PF2=Q1Q2由定义1知:截面是一个椭圆,且以F1、F2为焦点用同样的方法,也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆高中课本在平面直角坐标系中,用方程描述了椭圆,椭圆的标准方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1其中a>0,b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴)当a>b时,焦点在x轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ , y=bsinθ椭圆有一些光学性质:椭圆的面镜(以椭圆的长轴为轴,把椭圆转动180度形成的立体图形,其外表面全部做成反射面,中空)可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处;椭圆的透镜(某些截面为椭圆)有汇聚光线的作用(也叫凸透镜),老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片(这些光学性质可以通过反证法证明)关于圆锥截线的某些历史:圆锥截缐的发现和研究起始于古希腊。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截缐的研究,而且都有专著论述其几何性质,其中以 Apollonius 所著的八册《圆锥截缐论》集其大成,可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲缐的研究,乃是纯粹从几何学的观点,研讨和圆密切相关的这种曲缐;它们的几何乃是圆的几何的自然推广,在当年这是一种纯理念的探索,并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交,Kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运\行的轨道,乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。Kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破,它不但开创了天文学的新纪元,而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见,圆锥截缐不单单是几何学家所爱好的精简事物,它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

什么是椭圆椭圆有什么性质

3,优美椭圆的特性

优美椭圆:离心率e为黄金分割比 (1)短轴两端点,长轴的一端点及其对侧的焦点共圆; (2)焦点与相应准线之间距离等于长半轴长。
一:复习提问: 1.回答椭圆的两个定义。焦点在x轴和y轴上的椭圆的标准方程各是什么形式? 2.代数中研究函数图像时都需要研究函数的哪些性质? 由于方程与函数都是描述图形和图像上的点所满足的关系的,二者之间存在着必然的联系,因此我们可以用类比研究函数图像的方法,根据椭圆的定义,图形和方程来研究椭圆的几何性质。 现在我们有三个工具:椭圆的两个定义,图形和标准方程,下面我们就分别从研究定义,图形,方程出发看看能获得哪些性质。 (一) 从定义方面研究: 1.焦点 2.椭圆的第二定义,准线方程及离心率 点M(x,y)与定点F(-c,0)的距离和它到定直线L:x=-a2/c的距离的比是常数c/a,(a>c>0),求点M的轨迹。 求轨迹方程的方法,步骤是什么? 到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e (0<e<1)的点的轨迹叫椭圆。 我们把定值e=c/a(0<e<1) 叫做椭圆的离心率。 随着离心率的变化,椭圆的形状发生了怎样的变化? 当e越接近于1时,c越接近于a,从而b越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,从而b越接近于a,椭圆越接近于圆。可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量。 我们把定直线L:x= 叫做椭圆的准线。一个椭圆有几条准线? (二) 从标准方程研究 3.椭圆的顶点: 曲线与坐标轴的交点叫做曲线的顶点。同时我们把AA1,BB1分别叫做椭圆的长轴和短轴。另外我们将a,b叫半长轴长和半短轴长。 (三)从椭圆的图形和方程方面研究。 4.椭圆的范围:椭圆位于一个矩形内。 5.椭圆的对称性: 椭圆既关于坐标轴对称,又关于原点对称。 椭圆的定义和标准方程的形式决定了椭圆的对称性质。 例一:求椭圆16x2+25y2=400的长轴,短轴的长,焦点,顶点的坐标,准线方程和离心率 例二:我国发射的第一k颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面439千米,远地点B距地面2384千米,地球半径6371千米,求卫星的轨道方程。 例三:椭圆的方程 ,椭圆上一点P到左焦点的距离为15,求椭圆的一点P到两条准线的距离。 例四;已知椭圆的长轴长为5,一条准线方程为x=-10,求椭圆的标准方程。 小结;1.知识方面:1)椭圆内切于矩形,且它是以x轴,y轴为对称轴的轴对称图形,又是以原点为对称中心的对称图形。因此,画它的图形时,只要画出第一象限的部分,其余可由对称性得出。 2).在讨论椭圆性质时,应首先根据方程判断此长轴的位置,然后再讨论其它性质;(判断方法是“大小分长短,即哪个字母下面的数大,焦点就在哪个轴上) 3).常数e(离心率)是焦距与长轴长的比值,与坐标轴的选择无关。 4).关于准线,根据椭圆的对称性,对于焦点在x轴上的椭圆 的准线方程为x ,对于焦点在y轴上的椭圆 的准线方程为y 2.方法方面:1)给出方程会求椭圆的几何性质。 2)会用待定系数法根据条件求椭圆的方程。 练习:1。设椭圆中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两端点所连焦半径互相垂直,且此焦点距长轴较近的端点的距离为 ,求椭圆的方程。 2.直线y= 为椭圆的准线,其短轴长为2 ,求椭圆的标准方程。 3.根据下列条件求出椭圆的标准方程。 1) 中心在原点,焦点在x轴上,焦距为6,离心率为3/5。 2) 中心在原点,对称轴在坐标轴,长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6)。 3) 求下列椭圆的焦点,顶点坐标,离心率,准线方程,长,短轴长。1)9x2+4y2=1 2)

优美椭圆的特性

4,椭圆是什么

椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹, 也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1的常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线。 椭圆在方程上可以写为标准式x^2/a^2+y^2/b^2=1,它还有其他一些表达形式,如参数方程表示等等。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色,即行星轨道是椭圆,以恒星为焦点。椭圆的定义:椭圆的第一定义  平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆。即:│PF1│+│PF2│=2a其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离│F1F2│=2c<2a叫做椭圆的焦距。长轴长| A1A2 |=2a; 短轴长 | B1B2 |=2b。椭圆的第二定义  平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率,e=c/a)的点的集合(定点F不在定直线上,该常数为小于1的正数) 其中定点F为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线(该定直线的方程是x=±a^2/c或者y=±a^2/c)。椭圆的其他定义:根据椭圆的一条重要性质,也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值 定值为e^2-1 可以得出:平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆,此时k应满足一定的条件,也就是排除斜率不存在的情况,还有K应满足<0且不等于-1。
2a叫做椭圆的焦距;c)。 椭圆的其他定义:根据椭圆的一条重要性质,也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值 定值为e^2-1 可以得出椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹, 也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1的常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线。 椭圆在方程上可以写为标准式x^2/a^2+y^2/b^2=1,它还有其他一些表达形式,如参数方程表示等等。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色,即行星轨道是椭圆,e=c/|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆。 即:│PF1│+│PF2│=2a 其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离│F1F2│=2c<、F2的距离的和等于常数2a(2a>,以恒星为焦点。 椭圆的定义: 椭圆的第一定义 平面内与两定点F1,该常数为小于1的正数) 其中定点F为椭圆的焦点;c或者y=±a^2/,定直线称为椭圆的准线(该定直线的方程是x=±a^2/。 长轴长| A1A2 |=2a; 短轴长 | B1B2 |=2b。 椭圆的第二定义 平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的离心率;a)的点的集合(定点F不在定直线上
椭圆:一种圆锥曲线(所以也有人叫圆锥截线的),高中教材上的两种定义: 1、平面 上到 两点 距离 之和为 定值 的点的集合(该 定值 大于两点间距离)(这两个 定点 也称为 椭圆 的 焦点 , 焦点 之间的 距离 叫做 焦距 ); 2、平面 上到 定点 距离与到 定直线 间距离之比为常数的点的 集合 (定点不在 定直线 上,该常数为小于 1 的正数)(该定点为 椭圆 的 焦点 ,该直线称为椭圆的 准线 )。这两个 定义 是等价的. 标准方程 高中课本在平面直角坐标系中,用方程描述了椭圆,椭圆的标准方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1 其中a>0,b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴)当a>b时,焦点在x轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c 椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ , y=bsinθ 公式 椭圆的面积公式 s=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或s=π(圆周率)×a×b/4(其中a,b分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(l)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 l = 4a * sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)积分, 其中a为椭圆长轴,e为离心率 椭圆的离心率公式 e=c/a 椭圆的准线方程 x=+-a^2/c 椭圆焦半径公式 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 相关性质 由于平面截圆锥(或圆柱)得到的图形有可能是椭圆,所以它属于一种圆锥截线。 例如:有一个圆柱,被截得到一个截面,下面证明它是一个椭圆(用上面的第一定义): 将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压,它们碰到截面的时候停止,那么会得到两个公共点,显然他们是截面与球的切点。 设两点为f1、f2 对于截面上任意一点p,过p做圆柱的母线q1、q2,与球、圆柱相切的大圆分别交于q1、q2 则pf1=pq1、pf2=pq2,所以pf1+pf2=q1q2 由定义1知:截面是一个椭圆,且以f1、f2为焦点 用同样的方法,也可以证明圆锥的斜截面(不通过底面)为一个椭圆 椭圆有一些光学性质:椭圆的面镜(以椭圆的长轴为轴,把椭圆转动180度形成的立体图形,其外表面全部做成反射面,中空)可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处;椭圆的透镜(某些截面为椭圆)有汇聚光线的作用(也叫凸透镜),老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片(这些光学性质可以通过反证法证明) 历史 关于圆锥截线的某些历史:圆锥截线的发现和研究起始于古希腊。 euclid, archimedes, apollonius, pappus 等几何学大师都热衷于圆锥截线的研究,而且都有专著论述其几何性质,其中以 apollonius 所著的八册《圆锥截线论》集其大成,可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究,乃是纯粹从几何学的观点,研讨和圆密切相关的这种曲线;它们的几何乃是圆的几何的自然推广,在当年这是一种纯理念的探索,并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交,kepler 行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道,乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。kepler 三定律乃是近代科学开天劈地的重大突破,它不但开创了天文学的新纪元,而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见,圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物,它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。
椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹, 也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1的常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线。 椭圆在方程上可以写为标准式x^2/a^2+y^2/b^2=1,它还有其他一些表达形式,如参数方程表示等等。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色,即行星轨道是椭圆,以恒星为焦点。
椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹, 也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1的常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线。 椭圆在方程上可以写为标准式x^2/a^2+y^2/b^2=1,它还有其他一些表达形式,如参数方程表示等等。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色,即行星轨道是椭圆,以恒星为焦点。
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